并联机器人位置正解的一种的高效算法

引言: 机构位置正解问题是机构学的基本问题。也是机构分析与综合、速度与加速度求解、以及动力分析、误差分析的基础.对于并联机器人机构，其位置正解是一个难解决的问题。当给定并联机器人的各输入位置参数，求解操作器的位姿参数就是并联机器人的位置正解。

　　位置正解主要有数值解法和解析法。解析法主要是通过消元法消去机构约束方程中的未知数，从而使得机构的输入输出方程成为只含一个未知数的高次方程［1～4］。这种方法的优点是可以求解机构的所有可能的解，但上述的消元过程一般是非常繁琐的，求解一元高次方程时对计算精度要求非常高［1］。一般六自由度并联机构有40个解［2］，所以最终的方程是40次方程.数值方法的优点是可以应用于任何形式的并联机构，但一般数值方法采用优化搜索原理，需要大量的计算时间，且只能达到有限的精度［5～8］。

　　提出的逐次逼近法是一种数值计算方法。该方法的每一次逼近方向是该位置的瞬时速度方向，它能够以任意精度逼近所求的位姿。由于该方法采用逐次逼近，避免了一般的数值方法中采用的优化搜索计算时间长的缺点.因此该方法在并联机器人位置正解分析中，具有重要的理论意义和实际应用价值。

　　1并联机器人位置正解分析

　　1.1位置反解

　　图1为6-SPS型并联机构，动坐标系p-xyz建立在上平台上，坐标系o-xyz固定于下平台上。任一点在动坐标系中的向量R可以通过坐标变换方法，变换到该点在固定坐标系中的向量R

　　R＝°TpR（1）

　　式中：

　　式中：p为动坐标系原点在固定坐标系中的位置向量，T为动坐标系相对于固定坐标的方向余弦矩阵。

　　当给定机构上下平台结构尺寸后，则上下平台各铰点(pi，si，i＝1，2，…，6)在各自坐标系中的坐标值即被确定。再由上下平台的相对位姿，根据式(1)，可求出上平台各铰点在定坐标系中的坐标值.这时6个驱动器杆长矢量Ii（i＝1，2，…，6）可在固定坐标系中表示为

　　（2）

　　式中：pi和si分别为上下平台各铰点在动坐标系和固定坐标系中的奇次向量。

　　从而得到机构的位置反解方程

　　（3）

　　式中：lix、liy、liz和li为第i个杆长矢量在x轴、y轴和z轴上的分量与矢量长度。

　　1.2速度分析

　　设6个驱动器的伸缩速度为lvi，则有

　　（4）

　　图1 6-SPS型并联机构

　　式中：vi为上平台第i个铰点的运动速度.

　　而

　　（5）

　　式中：Tω为动坐标系相对于固定坐标系的转动角速度矩阵在固定坐标系中的描述；pv为动坐标系原点的运动速度；其中Tω的表达式为

　　（6）

　　式中：ωx、ωy和ωz为动坐标系绕固定坐标系的x轴、y轴和z轴转动的角速度。

　　由式(4)～（6）得

　　（7）

　　式中：矩阵TC只与机构的结构参数和位姿有关。

　　当给定机构结构参数、位姿参数和驱动器的伸缩速度，通过式(7)就可以求得动坐标系相对于固定坐标系的移动和转动速度。

　　1.3逐次逼近法

　　设Li（i1，2，…，6）为给定的6个杆长，求解上平台的位姿。

　　1）任取上平台某一位姿，由式(1)～（3）可求得各驱动杆的长度li。

　　2）当给定lvi＝（Li－li）／t（i＝1，2，…，6），可由式(4)～（7）求得动坐标系相对于固定坐标系的移动和转动速度为

　　（8）

　　式中：t为运行时间；fi（i＝1，2，…，6）只与机构结构与位姿参数有关。

　　3）给定上平台一微小位移，设运行时间tk，可求得机构新的位姿为

　　（9）

　　式中：

　　式中：

　　4)由式(1)～（3）可求得各驱动杆的新的长度l1i（i＝1，2，…，6）。

　　5）若满足，则逼近结束，否则令

　　T＝T1，xp＝xp1，yp＝yp1，zp＝zp1，li＝l1i

　　转入2)继续逼近.其中e为逼近精度。

　　2数值实例

　　如图1所示，给定结构参数与输入杆长见表1。

　　表1结构参数与输入杆长。

　　给定初始点见表2。

　　表2初始位置参数

　　取步长k＝1，逼近精度e＝10－3，获得结果见表3和表4。

　　表3逼近结果

　　表4逼近结束后输入杆长

　　3结论

　　1)采用逐次逼近法能够以任意精度逼近所求的位姿.数值实例中，当取逼近精度为10－3时，逼近次数为3，当取逼近精度为10－9时，逼近次数为4。

　　2）逐次逼近法由于避免了一般数值方法中采用的优化搜索过程，因此计算速度快，稳定，受初始点的影响小。

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