齿轮滚刀的最短有效切削长度是指能切出齿轮全齿高所需的滚刀最短轴向长度(L0t)min。在齿轮加工中，需要计算滚刀最短有效切削长度的情况很多。如滚切双联齿轮的小齿轮时，若小齿轮为斜齿轮且与大齿轮相距很近，则需验算滚刀滚切小齿轮时是否会与大齿轮相碰。滚刀外径越小，轴向长度越短，与大齿轮相碰的可能性就越小。但是，滚刀外径过小会影响齿根键槽部分的强度(此时可考虑将滚刀与刀轴做成一体)；此外，如滚刀轴向长度过短，可能无法切出完整的小齿轮。因此在这种情况下需要计算滚刀的最短轴向长度。此外，(L0t)min也是计算滚刀齿部总长度(考虑串刀长度)的基础。
1 计算方法
根据图1 可推导计算出滚切直齿轮时的(L0t)min。对于普通精度的滚刀，由于螺旋升角很小，可认为法向齿形角等于轴向齿形角。设过切点P 的啮合线与齿轮齿顶圆直径的交点为a，与滚刀齿顶线的交点为b，则工件齿形在啮合线a与b点之间形成。过a点作啮合线的垂线与滚刀齿顶线交于c'，设c'外侧的滚刀齿顶齿角为c，则滚刀齿部沿法向的最短距离(即不需串刀即可切出齿轮全齿高的最短长度)为
| (L0n)min=2(pm/2+CE)=pm+2L3 |
(1) |
图1
计算时之所以代入滚刀法向齿距的一半(pm/2)，是因为假设滚刀的齿顶高等于其齿根高。虽然实际上并不要求滚刀齿顶高一定等于其齿根高，只要求滚刀齿全高大于工件齿全高、滚刀齿顶高等于工件齿根高即可(工件齿根高为( fa1+c1)m，其中fa1为工件齿顶高系数，c1为径向间隙系数，齿根位置如图1 中RS所示)，但代入工件齿根高RS进行计算比较麻烦。为简化计算，不妨假设滚刀齿根高等于滚刀齿顶高，此时RS=pm/2。由于实际滚刀齿根高通常小于工件齿根高，因此按式(1)算出的滚刀(L0n)min值稍有增大，计算结果更为安全。
由图1可知，为使滚刀切出完整齿形，必须满足L3≥L2，因为需要计算滚刀的最短长度，故可取其极限情况L3=L2。L2为实际参与切削的长度，在加工双联齿轮进行验算时即取此长度，其计算公式为
| L2 |
=L1+Qa=L1+QC'tana1 |
| =L1+EN tana1=L1+(NP+ME-PM)tana1 |
| =L1+[L1tana1+(fa1+c1)m-x1m]tana1 |
| =(tan2a1+1)L1+(fa1+c1-x1)mtana1 | |
(2) |
式中：L1=Ra1sin(aa1-a1)
Ra1——工件的齿顶圆半径
aa1——工件的齿顶圆压力角，cosaa1=rb1/Ra1=mz1cosaa1/Ra1
求得L2后，取L3≥ L2，代入式(1)即可求出(L0n)min，滚刀的轴向最短长度则为
| (L0t)min=(L0n)min/cosg0 |
(3) |
式中g0——滚刀的螺旋升角
由于g0通常较小(约3°，cos3°≈0. 9986)，而滚刀最短有效切削长度最后要圆整到mm，因此也可直接将(L0n)min作为(L0t)min。
上述公式虽是按滚切直齿圆柱齿轮的情况推导出的，但若将有关参数换成法向参数，以当量齿轮代替工件，也可将其近似用于斜齿圆柱齿轮的计算。如需验算滚切双联齿轮时小齿轮是否会与大齿轮相碰，则应以式(2)算出的L2的两倍作为(L0t)min，即(L0t)min=2L2是参与切削的滚刀最短长度。式(1)算出的值则是不串刀时滚刀应有的最短长度。
2 应用实例
例1：我厂一直齿轮工件的参数为：da1=96.2mm，径节P=8(即m=3.175mm)，z1=29，a1=20°，齿全高h1=5.733mm，齿顶高ha1=2.06mm。用外径为90mm、分度圆直径D0=82. 654mm 的单头滚刀滚切该齿轮，求该滚刀齿部的最短长度。
解：首先求出工件齿顶圆压力角aa1：
cosaa1=mz1cosaa1/Ra1=0.8993991382
aa1=25.9208°
L1=Ra1sin(aa1-a1)=4.96mm
工件齿根高系数为
fa1+c1=(h1-ha1)/m=1.15
L2=(tan2a1+1)L1+( fa1+c1-x1)mtana1=6.94mm
因为L3>L2，故取L3=7。则滚刀的法向最短长度为(L0n)min=pm+2L3≈24mm滚刀为单头，其螺旋升角为
g0=arcsin(m/D0)=2.201452653
则(L0t)min=(L0n)min/cosg0=24.01mm
可见，将(L0n)min作为(L0t)min带来的误差极小，可忽略不计。
由上述计算可知，对(L0n)min值影响较大的是L1=Ra1 sin(aa1-a1)，对L1影响较大的则是Ra1和aa1。工件越大，Ra1和aa1也越大，滚刀的(L0n)min就越长。此外，由式(2)可知，工件的齿根高越大，其变位系数越小(本例中x1=0)，滚刀的(L0n)min也越大。
例2：斜齿轮的mn=3.5mm，an=20°，z1=100，b1=60°，h1=7.875mm，ha1=3.5mm(为分析各参数对(L0n)min的影响，对b1等参数略有夸大)。设工件为双联齿轮，为验算加工时是否会与大齿轮相碰，求滚切该齿轮滚刀的(L0t)min。
解：斜齿轮的当量齿数为
z1'=z1/cos3b1=181.93≈182
当量齿轮的分圆直径为mnz1'=637mm，顶圆直径为mnz1'+2ha1=644mm，此时
| aa1 |
=arccos[mnz1'cosan(/mn z1'+2ha1)]
=21.64632097° |
| L1 |
=Ra1'sin(aa1-a1)≈9.25mm |
| fa1+c1=(h1-ha1)/mn=1.25 |
| L2 |
=(tan2an+1)L1+(fa1+c1-x1)mntanan
=12.067mm |
则滚刀的最短长度(L0t)min=2L2≈24mm。
目前国内常用的滚刀设计方法是通过列出滚刀斜剖面的椭圆方程求其有关坐标的最大值来确定滚刀最短长度。因为涉及到椭圆方程，求导较麻烦，为求出坐标最大值还需求解超越方程，这对于手工计算相当困难。而利用最大坐标值计算(L0t)min又较为粗略。相比之下，本文介绍的方法更简单实用，且两种方法的计算结果较为接近(例2 求得的(L0t)min≈24mm 较椭圆法求出的(L0t)min=22.7mm略大，滚刀使用时更为安全可靠)。
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