2 进给系统传动刚 度对失动量的影响

图3 一端止推安装方式力学模型

1. 一端止推安装方式 对于一端止推、一端自由和一端止推、一端简支这两种安装方式，均可将其简化成如图3所示的弹簧质量系统力学模型。则该系统总传动刚度为

   1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 — ___ ___ ___ ____ KL 2KB KBR KS KN KNR

   (1)

   KS=	pd2E	=	pd2E	×	1
   	——		——		—
   	4l		4L		n

   式中 d——滚珠丝杠小径，mm
   n——行程比

   n=	l
   	—
   	L

   可见，对于一端止推安装方式而言，执行部件(螺母)移动到行程最远点时刚度最低，即

   KSmin=	pd2E
   	——
   	4L

   即此时按上式所求出的K_L为最小值K_Lmin。
   

   图4 两端止推安装方式力学模型

2. 两端止推安装方式 对于两端止推和两端止推加向心的安装方式，均可将其简化为如图4所示的弹簧质量系统力学模型。
   图中K_S1、K_S2与执行部件(螺母)所处工作位置有关，当螺母处于丝杠中间位置时有：K_S1=K_S2=2K_S，此时系统总传动刚度K_L也最小

   1 = 1 + 1 + 1 + 1 — —— —— — —— KL 2KB 4KS KN KNR

   (2)

   而

   KS=	pd2E	(	1	+	1	)=	pd2E	×	1
   	——		－		—		——		——
   	4		l		L-l		4L		n(1-n)

   且当螺母处于丝杠中间位置时K_S为最小：

   KSmin=	pd2E
   	——
   	L

   按此所求出的 K_L为最小值K_Lmin。
3. 传动刚度所引起的失动量

   Dd= F —— KLmin

   (3)

   式中 F——轴向 总负载，N
   K_Lmin——对应安装方式下的最小传动刚度，N/µm

3 进给系统扭转刚度对失动量的影响

图5 图1的简化扭振系统

1. 系统扭转刚度 将图1进给机构简化成如图5所示扭振系统，设轴Ⅰ和轴Ⅱ的扭转刚度分别为K₁和K₂，如只考虑弹性变形时，等效到滚珠丝杠轴Ⅱ上的系统等效扭转刚度K_TL为

   1 = 1 + 1 —— ———— — KTL K1(Z1/Z1)2 K2

   (4)

2. 系统扭转刚度所引起的失动量

   DdT= t × M — —— 2p KTL

   (5)

   M为系统折算到丝杠轴上的等效力矩：式中 M_i、n_i—— 第i个转动部件的转矩和转速，N·m和r/min
   F_j、v_j ——第j个移动部件的受力和速度，N和m/min
   n_Ⅱ—— 滚珠丝杠轴的转速，r/min

4 进给系统 刚度所产生的总失动量

5 实例分析与计算

1. 传动刚度所引起的失动量
   查滚珠丝杠说明书得滚珠直径D_W=Ø3.969mm，故可计算滚珠丝杠小径d=27.91mm。按式(1)得

   KSmin=	pd2E	=	3.14×27.912×2.1×105
   	——		—————————
   	4L		4×1400

   K_Lmin=63.2 N/µm
   则Dd=F/K_Lmin=2100/63.2=33.2µm
2. 扭转刚度所引起的失动量
   轴的扭转刚度

   KT=	pd4G
   	——
   	32L

   式中 G——钢的剪切模量，8×10⁴N/mm²
   d——受扭轴直径(滚珠丝杠为小径)，mm
   L——受扭轴长度，mm
   按步进电机和齿轮1的结构设计可知轴Ⅰ的直径和扭转长度为Ø11×200mm，即 K₁=3.14×11⁴×8×10⁴/(32×200)=575N·m
   滚珠丝杠轴Ⅱ的最小扭转刚度为 K_2min=3.14×27.91⁴×8×10⁴/(32×1400)=3285N·m
   对应于K_L最小值，即工作台处于行程中间位置时的丝杠扭转刚度为 K_2中间=2K_2min=6570N·m
   按式(4)可得：K_TLmin=331N·m，K_TL中间=348N·m，两者相差不大。则
3. 总失动量 Sd=Dd+Dd_T=33.2+5.5=38.7 µm
   可见，按以上设计过程进给系统刚度所引起的失动量接近4个脉冲当量，其中因d/t=27.91/6=4.65，略大于4，故扭转刚度所产生的失动量5.5µm可忽略不计，但若将导程t改为12mm时，d/t=27.91/12＜4，扭转刚度所产生的失动量便为22µm。
   若将原有一端止推，一端向心的支承方式改为两端止推安装方式后，即可大大减小失动量。此时按式(2)有 K_Smin=4K_Smin=367 N/µm
   K_Lmin=230 N/µm
   则：Dd=F/K_Lmin=2100/230=9.1 µm
   
   尽管在设计和改造数控机床时所选用的滚珠丝杠直径比原有丝杠直径大，但因刚度不足而产生较大失动量，使机床加工精度和定位精度都受到严重影响。但是在不同的支承形式下，其情况就会有很大变化。因此，在设计、改造数控机床及其它高定位精度设备时，应特别注意滚珠丝杠的支承形式。