数值模拟在锻造成形中的应用
1引言
锻造成形是现代制造业中的重要加工方法之一。锻造成形的制件有着其他加工方法难以达到的良好的力学性能。随着科技发展，锻造成形工艺面临着巨大的挑战各行业对锻件质量和精度的要求越来越高，生产成本要求越来越低。这就要求设计人员在尽可能短的时间内设计出可行的工艺方案和模具结构。但目前锻造工艺和模具设计，大多仍然采用实验和类比的传统方法，不仅费时而且锻件的质量和精度很难提高。随着有限元理论的成熟和计算机技术的飞速发展，运用有限元法数值模拟进行锻压成形分析，在尽可能少或无需物理实验的情况下，得到成形中的金属流动规律、应力场、应变场等信息，并据此设计工艺和模具，已成为一种行之有效的手段。
锻造成形大多属于三维非稳态塑性成形，一般不能简化为平面或轴对称等简单问题来近似处理。在成形过程中，既存在材料非线性，又有几何非线性，同时还存在边界条件非线性，变形机制十分复杂，并且接触边界和摩擦边界也难以描述。应用刚（粘）塑性有限元法进行三维单元数值模拟是目前国际公认的解决此类问题的最好方法之一。
2 刚（粘）塑性有限元法
刚（粘）塑性有限元法忽略了金属变形中的弹性效应，依据材料发生塑性变形时应满足的塑性力学基本方程，以速度场为基本量，形成有限元列式。这种方法虽然无法考虑弹性变形问题和残余应力问题，但可使计算程序大大简化。在弹性变形较小甚至可以忽略时，采用这种方法可达到较高的计算效率。
刚塑性有限元法的理论基础是Markov变分原理。根据对体积不变条件处理方法上的不同（如 Lagrange乘子法、罚函数法和体积可压缩法），又可得出不同的有限元列式其中罚函数法应用比较广泛。根据Markov变分原理，采用罚函数法处理，并用八节点六面体单元离散化，则在满足边界条件、协调方程和体积不变条件的许可速度场中对应于真实速度场的总泛函为：
∏≈∑π（ｍ）＝∏（1，2，…，ｍ）（1）
对上式中的泛函求变分，得：
∑＝０（2）
采用摄动法将式（2）进行线性化：
＝＋Δｕｎ（3）
将式（3）代入式（2），并考虑外力、摩擦力在局部坐标系中对总体刚度矩阵和载荷列阵的贡献，通过迭代的方法，可以求解变形材料的速度场。
3 模拟中的关键技术
有限元法数值模拟在锻造成形中的应用最早是进行二维的模拟分析。二维模拟分析技术发展比较成熟，经过适当简化，能够模拟普通的平面应变、应力和轴对称成形等较简单问题。但生产中，大多数零件形状比较复杂，影响因素多，如果仍然作为平面或轴对称问题来处理，所得结果与实际相比会有较大差距。进行三维有限元模拟是解决此类问题的有效途径。所以从上世纪80年代起，国内外在三维有限元模拟方面做了大量工作，明确了模拟关键制约技术及相应的解决方案，主要表现在以下几方面：
3.1 模具结构的数学描述
材料塑性变形受力状况，取决于与模具表面的接触情况所以准确、完整地描述模具的型腔信息是取得理想模拟结果的基础。由于复杂锻件的模具结构比较复杂，描述起来较困难。目前，常用的描述方法有解析式法、有限元网格的近似描述法、参数曲面法及结合参数曲面的CAD实体模型描述法等。
近似描述法是对模具型腔进行有限元网格剖分，将连续的型腔结构划分成有限个微小单元体，用这些单元的结合体近似表示模具的型腔信息。这种方法由于采用了有限元网格表达结构信息，数学处理比较方便，并在模拟中有利于动态边界条件简化处理。但是因其精度不高，对精密度要求比较高的成形过程，尚需划分更多的单元格，从而降低了动态接触中的求交搜索效率。
结合参数曲面法在模具的型腔表面的描述上仍采用Bezier曲面等，而对整个模块则采用实体造型，从而准确有效而又全面地描述了模具的几何特征。现在很多商业CAD软件都采用这种造型方法，所以用这些软件可以很方便地建立起模具的几何特征，并且数据的交换也很方便。
在这些方法中，解析式法在实际应用中局限性最大，应用很少；有限元网格的近似描述法由于其数据与有限元求解器交换的方便性，而成为当前的主流方法；但随着三维实体造型软件的广泛应用，CAD实体造型描述法由于其自身的优点，必将越来越广泛地应用于数值模拟中。
3.2 摩擦边界条件处理
锻造成形过程中锻件与模具型腔间的接触摩擦是不可避免的，且两接触体的接触面积、压力分布与摩擦状态随加载时间的变化而变化，即接触与摩擦问题是边界条件高度非线性的复杂问题。摩擦问题有限元模拟使用的理论最初是经典干摩擦定律，以后在其基础上发展起了以切向相对滑移为函数的摩擦理论和类似于弹塑性理论形式的摩擦理论。
经典干摩擦定律是Coulomb于1781年提出来的，他认为当切向力小于临界值时，处于纯粘着状态，接触面的相对滑移量为零。现代的研究分析表明，任一个小于临界值的摩擦力都会产生一个微小的位移。所以经典摩擦定律在解决塑性变形时的摩擦问题是不准确的。
Oden和Pires在经典摩擦理论的基础上，提出了以相对滑移为函数的摩擦理论。它能够反映摩擦问题的非线性特征及非局部特征，理论比较完备，但所涉及的参数不易确定，从而在数值分析中的应用受到限制。
Frericksson，Curnier等提出了类似于弹塑性理论形式的摩擦理论，它能够反映接触点在宏观滑移前产生的微观位移，因此，在一定程度上克服了经典摩擦定律的缺陷。Kobayasgu基于这种理论提出了修正的库伦摩擦模型，并将模型应用于有限元模拟之中。求解边界摩擦所用的方法有Lagrange乘子法及罚函数方法，由于罚函数法不会增加结构的自由度，求解方便，应用较多。
3.3 动态接触边界处理
锻造中金属塑性成形过程为非稳态的大变形过程。在有限元模拟过程中，变形体的形状不断变化，它与模具的接触状态也不断变化：某些处于自由状态的边界节点，可能会与模具型腔表面接触；原来与模具型腔表面接触的节点，可能随着变形过程的进行沿模具型腔表面滑移，也可能脱离表面而成为自由节点。这些变化便构成了工件模具间的动态接触表面。正确判断接触表面是确定边界单元体节点载荷列式进行有限元分析的基础。因此，在有限元模拟中每一加载步收敛后，对这些节点的边界条件均需进行相应的修改，即进行动态边界条件处理。其常用的方法分3个步骤：自由节点贴模的判断和处理；触模节点位置的修正；触模节点脱模的判断和处理。
自由节点贴模的判断用边界自由节点的相对速度矢量方向与模具求交的方法，获得交点并得该节点接触模具所需的时间，根据时间来判断是否贴模。触模节点脱模的判断是根据已接触模具的边界节点是否脱离模具，并根据接触节点的受力状态来进行的，若接触节点的节点力（或应力）在模具表面法向上的投影小于零（压力），则表示该节点在下一步内仍与模具相接触；否则，该节点脱离模具。对于脱离模具的节点，应当解除其边界速度约束条件，使之成为自由节点。
触模节点位置修正采用最短距离法，即：把这些接触节点沿着它与模具表面最短距离的方向拉回模具表面。用此方法进行修正时往往会产生“死锁”。詹梅等人在研究了“死锁”现象后，分析了“死锁”产生的原因是由于离散的模具网格法矢的不连续；并且采用最短距离法修正触模节点位置时，向模具型腔各网格单元所作垂线的方向随各网格单元的法矢不断变化。为克服最短距离法中垂线方向不断变化而造成“死锁”问题，他们提出了一种初矢修正法对触模节点位置进行二次修正，避免了有限元模拟中“死锁”的发生。
此外，他们还用自己提出的网格重划方法对畸变网格进行重划，对叶片锻造过程进行了三维有限元模拟。对模拟结果的分析表明，初矢修正法修正触模节点位置的方法对于避免由于离散的模具网格造成“死锁”是有效的。
3.4 网格划分和重划分的处理
结构体的单元离散化在有限元模拟中是很重要的，划分的单元体质量直接影响到计算结果，甚至决定着计算是否能够正常地进行下去。处理锻造成形问题用到的单元多为三维单元体，其中四面体单元结果简单，生成较为容易，但其单元体质量不高，计算结果精确度低，难以满足模拟分析的需要；而六面体单元划分的单元体质量相对较好，但有效的划分方法还在进一步的探索之中。目前，八节点六面体单元的划分方法有：有限八叉树法、正则栅格法、超单元映射法、模块法和四面体转换法等。
锻造成形是现代制造业中的重要加工方法之一。锻造成形的制件有着其他加工方法难以达到的良好的力学性能。随着科技发展，锻造成形工艺面临着巨大的挑战各行业对锻件质量和精度的要求越来越高，生产成本要求越来越低。这就要求设计人员在尽可能短的时间内设计出可行的工艺方案和模具结构。但目前锻造工艺和模具设计，大多仍然采用实验和类比的传统方法，不仅费时而且锻件的质量和精度很难提高。随着有限元理论的成熟和计算机技术的飞速发展，运用有限元法数值模拟进行锻压成形分析，在尽可能少或无需物理实验的情况下，得到成形中的金属流动规律、应力场、应变场等信息，并据此设计工艺和模具，已成为一种行之有效的手段。
锻造成形大多属于三维非稳态塑性成形，一般不能简化为平面或轴对称等简单问题来近似处理。在成形过程中，既存在材料非线性，又有几何非线性，同时还存在边界条件非线性，变形机制十分复杂，并且接触边界和摩擦边界也难以描述。应用刚（粘）塑性有限元法进行三维单元数值模拟是目前国际公认的解决此类问题的最好方法之一。
2 刚（粘）塑性有限元法
刚（粘）塑性有限元法忽略了金属变形中的弹性效应，依据材料发生塑性变形时应满足的塑性力学基本方程，以速度场为基本量，形成有限元列式。这种方法虽然无法考虑弹性变形问题和残余应力问题，但可使计算程序大大简化。在弹性变形较小甚至可以忽略时，采用这种方法可达到较高的计算效率。
刚塑性有限元法的理论基础是Markov变分原理。根据对体积不变条件处理方法上的不同（如 Lagrange乘子法、罚函数法和体积可压缩法），又可得出不同的有限元列式其中罚函数法应用比较广泛。根据Markov变分原理，采用罚函数法处理，并用八节点六面体单元离散化，则在满足边界条件、协调方程和体积不变条件的许可速度场中对应于真实速度场的总泛函为：
∏≈∑π（ｍ）＝∏（1，2，…，ｍ）（1）
对上式中的泛函求变分，得：
∑＝０（2）
采用摄动法将式（2）进行线性化：
＝＋Δｕｎ（3）
将式（3）代入式（2），并考虑外力、摩擦力在局部坐标系中对总体刚度矩阵和载荷列阵的贡献，通过迭代的方法，可以求解变形材料的速度场。
3 模拟中的关键技术
有限元法数值模拟在锻造成形中的应用最早是进行二维的模拟分析。二维模拟分析技术发展比较成熟，经过适当简化，能够模拟普通的平面应变、应力和轴对称成形等较简单问题。但生产中，大多数零件形状比较复杂，影响因素多，如果仍然作为平面或轴对称问题来处理，所得结果与实际相比会有较大差距。进行三维有限元模拟是解决此类问题的有效途径。所以从上世纪80年代起，国内外在三维有限元模拟方面做了大量工作，明确了模拟关键制约技术及相应的解决方案，主要表现在以下几方面：
3.1 模具结构的数学描述
材料塑性变形受力状况，取决于与模具表面的接触情况所以准确、完整地描述模具的型腔信息是取得理想模拟结果的基础。由于复杂锻件的模具结构比较复杂，描述起来较困难。目前，常用的描述方法有解析式法、有限元网格的近似描述法、参数曲面法及结合参数曲面的CAD实体模型描述法等。
近似描述法是对模具型腔进行有限元网格剖分，将连续的型腔结构划分成有限个微小单元体，用这些单元的结合体近似表示模具的型腔信息。这种方法由于采用了有限元网格表达结构信息，数学处理比较方便，并在模拟中有利于动态边界条件简化处理。但是因其精度不高，对精密度要求比较高的成形过程，尚需划分更多的单元格，从而降低了动态接触中的求交搜索效率。
结合参数曲面法在模具的型腔表面的描述上仍采用Bezier曲面等，而对整个模块则采用实体造型，从而准确有效而又全面地描述了模具的几何特征。现在很多商业CAD软件都采用这种造型方法，所以用这些软件可以很方便地建立起模具的几何特征，并且数据的交换也很方便。
在这些方法中，解析式法在实际应用中局限性最大，应用很少；有限元网格的近似描述法由于其数据与有限元求解器交换的方便性，而成为当前的主流方法；但随着三维实体造型软件的广泛应用，CAD实体造型描述法由于其自身的优点，必将越来越广泛地应用于数值模拟中。
3.2 摩擦边界条件处理
锻造成形过程中锻件与模具型腔间的接触摩擦是不可避免的，且两接触体的接触面积、压力分布与摩擦状态随加载时间的变化而变化，即接触与摩擦问题是边界条件高度非线性的复杂问题。摩擦问题有限元模拟使用的理论最初是经典干摩擦定律，以后在其基础上发展起了以切向相对滑移为函数的摩擦理论和类似于弹塑性理论形式的摩擦理论。
经典干摩擦定律是Coulomb于1781年提出来的，他认为当切向力小于临界值时，处于纯粘着状态，接触面的相对滑移量为零。现代的研究分析表明，任一个小于临界值的摩擦力都会产生一个微小的位移。所以经典摩擦定律在解决塑性变形时的摩擦问题是不准确的。
Oden和Pires在经典摩擦理论的基础上，提出了以相对滑移为函数的摩擦理论。它能够反映摩擦问题的非线性特征及非局部特征，理论比较完备，但所涉及的参数不易确定，从而在数值分析中的应用受到限制。
Frericksson，Curnier等提出了类似于弹塑性理论形式的摩擦理论，它能够反映接触点在宏观滑移前产生的微观位移，因此，在一定程度上克服了经典摩擦定律的缺陷。Kobayasgu基于这种理论提出了修正的库伦摩擦模型，并将模型应用于有限元模拟之中。求解边界摩擦所用的方法有Lagrange乘子法及罚函数方法，由于罚函数法不会增加结构的自由度，求解方便，应用较多。
3.3 动态接触边界处理
锻造中金属塑性成形过程为非稳态的大变形过程。在有限元模拟过程中，变形体的形状不断变化，它与模具的接触状态也不断变化：某些处于自由状态的边界节点，可能会与模具型腔表面接触；原来与模具型腔表面接触的节点，可能随着变形过程的进行沿模具型腔表面滑移，也可能脱离表面而成为自由节点。这些变化便构成了工件模具间的动态接触表面。正确判断接触表面是确定边界单元体节点载荷列式进行有限元分析的基础。因此，在有限元模拟中每一加载步收敛后，对这些节点的边界条件均需进行相应的修改，即进行动态边界条件处理。其常用的方法分3个步骤：自由节点贴模的判断和处理；触模节点位置的修正；触模节点脱模的判断和处理。
自由节点贴模的判断用边界自由节点的相对速度矢量方向与模具求交的方法，获得交点并得该节点接触模具所需的时间，根据时间来判断是否贴模。触模节点脱模的判断是根据已接触模具的边界节点是否脱离模具，并根据接触节点的受力状态来进行的，若接触节点的节点力（或应力）在模具表面法向上的投影小于零（压力），则表示该节点在下一步内仍与模具相接触；否则，该节点脱离模具。对于脱离模具的节点，应当解除其边界速度约束条件，使之成为自由节点。
触模节点位置修正采用最短距离法，即：把这些接触节点沿着它与模具表面最短距离的方向拉回模具表面。用此方法进行修正时往往会产生“死锁”。詹梅等人在研究了“死锁”现象后，分析了“死锁”产生的原因是由于离散的模具网格法矢的不连续；并且采用最短距离法修正触模节点位置时，向模具型腔各网格单元所作垂线的方向随各网格单元的法矢不断变化。为克服最短距离法中垂线方向不断变化而造成“死锁”问题，他们提出了一种初矢修正法对触模节点位置进行二次修正，避免了有限元模拟中“死锁”的发生。
此外，他们还用自己提出的网格重划方法对畸变网格进行重划，对叶片锻造过程进行了三维有限元模拟。对模拟结果的分析表明，初矢修正法修正触模节点位置的方法对于避免由于离散的模具网格造成“死锁”是有效的。
3.4 网格划分和重划分的处理
结构体的单元离散化在有限元模拟中是很重要的，划分的单元体质量直接影响到计算结果，甚至决定着计算是否能够正常地进行下去。处理锻造成形问题用到的单元多为三维单元体，其中四面体单元结果简单，生成较为容易，但其单元体质量不高，计算结果精确度低，难以满足模拟分析的需要；而六面体单元划分的单元体质量相对较好，但有效的划分方法还在进一步的探索之中。目前，八节点六面体单元的划分方法有：有限八叉树法、正则栅格法、超单元映射法、模块法和四面体转换法等。
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