现有数控机床加工渐开线廓形需通过直线或圆弧拟合来实现，程序段多而且精度低。王启民的《数字积分法渐开线插补原理》和郭崇善的《极径渐开线插补原理》在参数方程、数字积分基本思想的基础上，研究了直接进行渐开线插补的有关算法。本文在此基础上提出变步长渐开线插补的基本思想，旨在保证一定的进给速度和精度。
1 基本原理
如图1所示，渐开线基圆半径为R，动点P(x,y)参数方程为
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| x=Rcosq+Rqsinq
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| y=Rsinq-Rqcosq |
| (1) |
设待插补线段为Po～Pe，插补起始点参数θo，对应动点坐标xm=xo,ym=yo,插补终点坐标xe,ye。
当参变量θ有一微小增量Δθ时，x,y值亦有相应变化Δx=x-xm，Δy=y-ym。设脉冲当量为δ，当Δθ足够小时，总能保证max(|Δx|，|Δy|)≤δ。建立累加余数寄存器Δxs,Δys，初始时Δxs=Δys=0，θ=θ0，当不断累加Δθ，即θ=θ+Δθ时，相应Δx，Δy及Δxs=Δxs+Δx，Δys=Δys+Δy亦随之变化。以x轴为例，最终总有Δxs≥δ，这时向x轴进给一步，同时调整动点坐标值xm=xm+δ，修正余数寄存器Δxs=Δxs-δ，对y轴亦同理。继续上述过程即θ=θ+Δθ，再由式(1)得x,y，求Δx=x-xm，Δy=y-ym，再求Δxs,Δys，若Δxs≥δ或Δys≥δ，则向相应轴进给一步，修正相应动点坐标值及累加余数寄存器值，直至xm=xe，y=ye，插补结束。
由条件max(|Δx|,|Δy|)≤δ可确保每次插补任一轴方向最多进给一个脉冲当量，从而使插补误差控制在一个δ之内。显然Δθ取值越小，该条件越容易保证，但Δθ太小时可能出现累加多次θ+Δθ仍无进给脉冲出现的情况，影响进给速度。希望Δθ的取值能保证每一次或两次累加即有一次进给脉冲产生。问题归结到步长Δθ的取值最优化。由式(1)可见，当R、θ值不同时，同样Δθ将对应不同的Δx、Δy，即Δθ取常量很难同时满足进给速度及插补精度要求。为此，考虑采用变步长，即取Δθ为变量。具体说，每次插补计算θ+Δθ及Δx、Δy时，若有Δx≥2δ或Δy≥2δ，则说明Δθ太大，令Δθ=Δθ/2，重算；另外记录获得一个进给脉冲的插补次数n，若n≥3时才出现Δx≥δ或Δy≥δ，则说明Δθ太小，在完成本次进给及相应坐标调整，累加余数寄存器修正后取Δθ=2Δθ，再继续插补。总之，随时调整Δθ值以保证插补过程处于最佳状态。
2 进给方向变化问题
由图1可看出，随着θ角从0开始逐渐展开，x,y将发生变向。即当θ>p/2，3p/2π时，x将变向；当θ＞π时y将变向。在插补过程中对此必须予以考虑。综上所述，变步长渐开线插线算法可归纳为图2。
3 刀补等距线转接点的求取
基于刀具半径补偿的刀心轨迹计算涉及两段编程轨迹等距线交点的求取问题，这里仅以圆弧与渐开线转接为例。如图3所示，实际轮廓轨迹为圆弧AB接渐开线BC，刀具半径为r，则刀心轨迹应为圆弧A′B′接线段B′C′。交点B′的求取是以下要讨论的中心。
由于渐开线的发生线即为其法线，因而线段B′C′亦为与BC同基圆的渐开线，其原始起点比BC渐开线的原始起点提前一个角度θT，且=r/R。由此可得渐开线B′C′参数方程为
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| x=Rcosq+R(q+θT)sinq
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| y=Rsinq-R(q+θT)cosq |
| (2) |
圆弧A′B′中心坐标已知为x1,y1，半径R1，令l=R1+r，则圆弧A′B′方程为
式中x、y以式(2)代入，可得B′点对应的θ值。然而以普通方法直接求解式(3)很困难，况且还有2个根的取舍问题。因此考虑数值解法。
建立函数F(θ)=(x-x1)2+(y-y1)2-l2，其中x、y以式(2)代入。再令f(θ)=[F(θ)]2，则问题转化为一维搜索求取f(θ)极小点。一般说来，圆弧与渐开线交点可能有1～3个，因而必须首先确定真实解所在的单峰区间。分析导数f′(θ)，经整理可得
f′(θ)=2F(θ)2R(θ+θT)[R-(cosθx1+sinθy1)]
由于f′(θ)性态取决于R、x1、y1等参数，要研究其单调区间，凸凹性、驻点、极小点等很困难，因而要利用其导数来确定单峰区间及搜索极小点存在一定问题。为此采用“进退法”，只涉及函数值而不用导数。而搜索初始点可由实际轮廓线交点B及其对应的θ角来确定。确定真实解所在的单峰区间[a，b]后，可用“黄金分割”法求得真实解。限于篇幅，详细步骤不再赘述。
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