分析重合度齿轮系统特性

　　齿轮传动的工作性能对整个机械系统的寿命及可靠性有着至关重要的影响,随着现代工业的发展,齿轮传动系统对承载能力和传动平稳性有了更高的要求[1~6]。高重合度齿轮传动由于重合度大于2,传动过程中至少有两对以上轮齿同时啮合,同时承受载荷,因此提高了齿轮的承载能力[7,8]。重合度较大也降低了轮齿啮合刚度的突变幅度,从而减小了动载荷,降低了传动的振动和噪声。由于承载能力强和传动平稳的优点,高重合度齿轮传动在航空和汽车传动中被广泛应用,因此对高重合度行星齿轮传动系统的参数设计及其动力学特性的研究尤为重要。

　　1动力学模型的建立

　　2K-H型行星齿轮传动系统传动简图如图1所示,zs、zp和zr分别表示行星轮系中的太阳轮、行星轮和内齿圈的齿数,x表示行星架;ns表示输入转速,nx表示输出转速。行星齿轮传动中功率由太阳轮输入,经行星轮分流后再汇流由行星架输出。行星齿轮传动系统动力学计算模型如图2所示。采用集中质量法建立系统动力学模型,内齿轮是固定构件,因此不考虑它的自由度,仅以啮合刚度来考虑它的弹性变形;太阳轮为基本浮动构件,所以除有一个回转自由度外,还有横向和纵向两个方向的中心位移;由于行星轮的支承刚度很大,因此行星轮的横向和纵向的中心位移均可忽略,输入、输出结构分别视为具有回转自由度的集中质量。因此系统共有9个自由度,其广义坐标如下X=[xD,xs,Hs,Vs,xpi,xc,xL]T式中:x表示系统各构件的角位移在相应啮合线上产生的线位移x=rbθ,rb为各构件的基圆半径,θ为各构件回转角;H和V分别表示构件横坐标和纵坐标的中心位移;用等效弹簧刚度和等效阻尼表示各齿轮啮合副的变形,用等效弹簧刚度表示各回转副及支承处的弹性变形,则计算模型中,Ksp表示行星轮和太阳轮轮齿间啮合刚度;KIp表示内齿圈和行星轮轮齿间啮合刚度;Ks表示太阳轮支承处的等效弹簧刚度。

　　1.1齿轮副综合误差的计算在系统动力学分析中,采用简谐函数来表示齿轮副综合误差的变化,将其取为齿轮啮合周期而变化的正弦函数。各齿轮的偏心误差对齿轮副啮合的激励是体现在啮合线方向上的位移激励,因此需将之投影在啮合线方向上。将行星架安装和制造偏心误差都包含在太阳轮和内齿圈的偏心误差中,在动力学误差分析时只需要考虑各个齿轮的偏心误差的影响即可。经推导得到行星齿轮传动系统中各齿轮副啮合线方向的误差激励为式中:Es、Epi和EI分别表示太阳轮、行星轮i和内齿圈的偏心误差;φspi和φIpi分别表示齿频误差Espi和EIpi的初相位;ω1和ω2分别表示太阳轮与行星轮传动和行星轮与内齿轮啮合传动的啮合齿频。

　　1.2动力学时变啮合刚度计算由于标准参数的渐开线直齿轮副是很难达到高重合度要求,高重合度齿轮副设计中一般需要增大齿顶高系数或减小压力角等,因而单对齿啮合刚度略小于普通齿轮副,但由于啮合过程中同时啮合的齿轮对多,其总啮合刚度大于普通齿轮副。图3为普通齿轮副和高重合度齿轮副的啮合刚度的变化规律示意图。T为啮合周期。时变啮合刚度K(t)由平均啮合刚度km和变刚重合度为2.3,当n=1和n=200时的数值仿真结果如图4a)和图4b)所示,图4c)为重合度为1.7时数值仿真结果。可见,n=1时时变啮合刚度的仿真曲线是余弦曲线,与实际传动的矩形波相差很大,n=200时时变啮合刚刚度的仿真曲线是近似矩形波,与实际传动的综合刚度理论分析结果相似,虽然调用计算时计算量较大,为了更接近传动的实质,本文采用多次谐波表示综合啮合刚度。由图4b)和图4c)对比可以看出,高重合度齿轮啮合刚度较大,啮合刚度的突变幅度较小。

　　2系统的运动微分方程

　　由拉格朗日方程,根据图2行星齿轮传动系统的动力学计算模型,列出9个自由度的动力学微分方程为由于方程参数数量级相差很大,对微分方程进行了无量纲化处理,并用矩阵形式表示为[M]{X??}+[C]{X?}+[K]{X}={F}(5)式中:[M]、[C]和[K]分别为系统的无量纲质量矩阵、无量纲阻尼矩阵和无量纲刚度矩阵,均是(6+N)×(6+N)的对称矩阵,{F}为无量纲激励力列向量。

　　3系统微分方程求解及动态特性分析

　　为了更好的研究高重合度行星齿轮传动的动态特性,本文分别对高重合度行星齿轮传动系统和普通行星齿轮传动系统的动力学特性进行分析,得到各系统相应的时域响应和动态特性规律。各系统基本参数及误差参数如表1和表2所示。借助Matlab工具箱,采用变步长的4阶Runge-Kutta数值积分方法对系统动力学无量纲微分方程(3)进行求解,求得系统的动态响应。因篇幅有限,本文不能将系统各自由度的动态响应结果全部列出,仅传动系统中行星轮2为例,则高重合度行星齿轮传动系统和普通行星齿轮传动系统中行星轮2的时域响应如图5所示。根据图5可见,相对于普通行星齿轮传动系统,高重合度行星齿轮传动系统的各自由度无量纲位移较小,且在周期变化过程中其波动幅值较小,因此在传动过程中振动幅值较小,振动的减小必然降低传动噪声。在表1、表2所示的基本参数条件和工况下的,高重合度行星齿轮传动系统啮合动载系数、均载系数分别为1.8464、1.0583。普通行星齿轮传动系统的动载系数和均载系数分别为2.0489和1.0718。两种传动系统各行星轮啮合副的啮合力如图6所示,各行星轮的动载系数、均载系数随时间变化情况见图7、图8所示。根据图6、图7可得,高重合度行星齿轮系统传动过程中,各行星轮的最大动载荷明显比普通行星齿轮系统小,且在传动过程中动载荷波动幅值较小,动载荷较小必然导致动载系数也较小。主要原因是在相同的载荷下,高重合度齿轮传动参与啮合的齿数较多,则单齿所承受的载荷较小,因此传动过程中动载荷会相应的减小。另外由于齿轮重合度大于2时,传动是两对齿啮合或三对齿啮合,啮合齿数变化时传动中变形量的差别较小,从而降低了轮齿啮合刚度的突变幅度。这也使传动的振动减小,动载荷减小,动载特性更好。根据图8可以看出高重合度齿轮系统的均载特性也得到了很大的改善,载荷分配更加均匀。因此高重合度行星齿轮传动系统动态特性更好,动载荷的减小,均载特性的改善必然可使传动更加平稳,降低齿轮传动的噪声,提高系统的寿命和可靠性。

　　4结束语

　　1)由于齿顶高系数的增加等因素,高重合度齿轮传动单对齿啮合刚度小于普通齿轮,但由于传动中同时参与啮合的轮齿多,其总啮合刚度大于普通齿轮副啮合刚度。2)根据高重合度行星齿轮传动和普通行星齿轮传动系统的动态响应对比可得,高重合度行星齿轮传动系统各自由度无量纲微位移较小,表明系统振动较小。3)相对于普通行星齿轮系统,高重合度行星齿轮系统在传动过程中各行星轮的最大动载荷明显减小,且动载荷值波动幅值较小,载荷分配均匀性也有所改善。因此高重合度行星齿轮传动系统传动更加平稳,承载能力更强,从而改善了行星齿轮系统的工作性能,降低传动的振动和噪声,提高系统的寿命和可靠性。

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