数控编程中列表曲线的数学处理

摘要:下图是一种用列表曲线表述外缘轮廓的零件。这种以列表坐标点来确定轮廓形状的零件称为列表曲线(或曲面)零件,所确定的曲线(或曲面)称为列表曲线(或曲面)。它的特点是列表曲线上各坐标点之间没有严格一定的联结规律,而在加工中则往往要求曲线能平滑得通过各坐标点,并规定了加工精度。

在实际生产中(特别是航空工业),许多零件的轮廓形状是由实验方法来确定的,如飞机的机翼,它的形状是由风洞试验得到的。下图就是一种用列表曲线表述外缘轮廓的零件。这种以列表坐标点来确定轮廓形状的零件称为列表曲线(或曲面)零件,所确定的曲线(或曲面)称为列表曲线(或曲面)。它的特点是列表曲线上各坐标点之间没有严格一定的联结规律,而在加工中则往往要求曲线能平滑得通过各坐标点,并规定了加工精度。计算机在对列表曲线进行数学处理时通常要经过插值、拟合于光顺3个步骤,下面简单介绍这几个步骤。

(1)插值在许多场合下,产品或工件的轮廓形状往往很难找到一个具体的数学表达式把它们描述出来,通常只能通过实验或数学计算得到一系列互不相同的离散点xi(x=0,1,2…)上的函数值f(xi)=yi(i=0,1,2,…n),即得到一张xi与yi对应的数据表。通常把这种用数据表格形式给出的函数y=f(x)称为列表函数。由于受某些条件的限制,实验观测得到的离散点常常满足不了实际加工的需要,这时就必须在所给函数表中再插入一些所需要的中间值,这就是通常所说的“插值”。

插值的基本思路是先设法对列表函数f(x)构造一个简单函数y=p(x)作为近似表达式,然后再计算p(x)的值来得到f(x)的近似值。

几种常见的插值方法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和样条插值法等。

(2)拟合拟合也称逼近,在实际工程中,因实验数据常带有测试误差,上述插值方法均要求所得曲线通过所有的型值点,反而会使曲线保留着一切测试误差,特别是当个别误差较大时,会使插值效果显得很不理想。因此,在解决实际问题时,可以考虑放弃拟合曲线通过所有型值点的这一要求,而采用别的方法构造近似曲线,只要求它尽可能反映出所给数据的走势即可。如常用拟和方法之一的最小二乘法,就是寻求将拟合误差的平方和达到最小值(最优近似解)来对曲线进行近似拟合的。上面提到的插值,拟合过程等,在数控加工的编程工作中,一般均被称为第一次逼近(或称第一次数学描述),由于受数控机床控制功能的限制,第一次逼近所取得的结果一般都不能直接用于编程,而必须取得逼近列表曲线的直线或圆弧数据,这一拟合过程在编程中被称为第二次逼近(或称为第二次数学描述)。

目前常用的拟和方法有圆弧样条拟合列表曲线和双圆弧样条拟合列表曲线两种方法。

(3)光顺

为了降低在流体中运动物体(如飞机、船舶、汽车等)的运动阻力,其轮廓外形不但要求做得更流线一些,而且要求美观,看上去舒服顺眼,因此就构成了光顺的概念。可见,“光顺”实际上是个工程上的概念,因光顺要求光滑,但光滑并不等于光顺,所以不能与数学上的“光滑”概念等同。

光顺的条件包括两个方面的要求:其一是光滑,至少一阶导数连续；其二是曲线走势,其凹凸应符合设计目的。但大量实践表明,仅满足上述两个必要条件,尚不能获得满意结果,故还应增加光顺的充分条件,即:曲线的曲率大小变化要均匀。

光顺问题是计算机辅助设计与制造(CAD/CAM)提出的专门课题,也是一个非常复杂,难度较大的问题。目前对曲线与曲面的光顺方法很多,在数控加工实践中常用的是“局部回弹法”。

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